已知函数f(x)=(x-2a)(x-a-1).(I)当a>1时,解关于x的不等式f(x)≤0;(II)若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(x-2a)(x-a-1). (I)当a>1时,解关于x的不等式f(x)≤0; (II)若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(I)令(x-2a)(x-a-1)=0. 得x1=2a,x2=a+1,-------------(1分) x1-x2=a-1, 因为a>1,所以a-1>0,即2a>a+1,-------------(2分) 由f(x)=(x-2a)(x-a-1)≤0,解得a+1≤x≤2a.-------------(4分) (II)当a=1时,2a=a+1,f(x)=(x-2)2,不符合题意.-----(5分) 当a>1时,2a>a+1,若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立, 则有 解得≤a≤4.-------------(7分) 当a<1时,2a<a+1,若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立, 则有,a无解.------------(9分) 综上,实数a的取值范围是≤a≤4.-------------(10分) |
举一反三
已知函数f(x)是R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(1)的值是( ) |
已知函数f(x)=+alnx-2(a>0). (1)若对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围; (2)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上恰有两个零点,求实数b的取值范围. |
设函数f(x)=-ax+,a∈R. (Ⅰ)若∀x∈[,2],关于x的不等式f(x)≥恒成立,试求a的取值范围; (Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,4]上恰有一个零点,试求a的取值范围. |
对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]⊆D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)>c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数. (1)判断f1(x)=|x-1|+|x-2|和f2(x)=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由; (2)若函数g(x)=mx+是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数,求m和n的值. |
设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数t,使得对于任意x∈M(M⊆D)有x+t∈D且f(x+t)≥f(x),则称f(x)在M上的t给力函数,若定义域为[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m给力函数,则m的取值范围为______. |
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