已知定义域为R的函数f(x)=b-2x1+2x是奇函数(1)求b的值;(2)试讨论函数f(x)的单调性;(3)若对∀t∈R,不等式f(t-t2)+f(t-k)>
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已知定义域为R的函数f(x)=b-2x1+2x是奇函数(1)求b的值;(2)试讨论函数f(x)的单调性;(3)若对∀t∈R,不等式f(t-t2)+f(t-k)>
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
f(x)=
b-
2
x
1+
2
x
是奇函数
(1)求b的值;
(2)试讨论函数f(x)的单调性;
(3)若对∀t∈R,不等式f(t-t
2
)+f(t-k)>0恒成立,求k的取值范围.
答案
(1)∵定义域为R的函数
f(x)=
b-
2
x
1+
2
x
是奇函数
∴f(0)=0
即b=1
(2)
f(x)=
1-
2
x
1+
2
x
=-1+
2
1+
2
x
,
因为1+2
x
随x的增大而增大,
所以
f(x)=-1+
2
1+
2
x
在R上是减函数.
(3)因为
f(x)=-1+
2
1+
2
x
在R上是奇函数
∴不等式f(t-t
2
)+f(t-k)>0可化为
f(t-t
2
)>f(k-t)
又∵
f(x)=-1+
2
1+
2
x
在R上是减函数
t-t
2
<k-t
即k>2t-t
2
=-(t-1)
2
+1在R上恒成立,
∴k>1
举一反三
对于定义域是R的任意奇函数f(x)有( )
A.f(x)-f(-x)=0
B.f(x)+f(-x)=0
C.f(x)•f(-x)=0
D.f(0)≠0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=(x-2a)(x-a-1).
(I)当a>1时,解关于x的不等式f(x)≤0;
(II)若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2
x
+2x+b(b为常数),则f(1)的值是( )
A.3
B.-3
C.-1
D.1
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
2
x
+alnx-2(a>0)
.
(1)若对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围;
(2)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e
-1
,e]上恰有两个零点,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
x
2
2
-ax+
a
2
-1
2
,a∈R.
(Ⅰ)若
∀x∈[
2
,2]
,关于x的不等式
f(x)≥
a
2
-4
2
恒成立,试求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,4]上恰有一个零点,试求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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