已知函数f（x）=ax3+bx2+x为奇函数，且f（1）-f（-1）=4．（1）求实数a，b的值；（2）若对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c2-9c恒成
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=ax3+bx2+x为奇函数，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c2-9c恒成立，求实数c的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=ax3+bx2+x为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立
即：-ax3+bx2-x=-ax3-bx2-x⇒2bx2=0任意x∈R恒成立
∴b=0，可得f（x）=ax3+x
∵f（1）-f（-1）=4
∴a+1-（-a-1）=4⇒a=1
综上所述，得a=1，b=0
（2）由（1）得f（x）=x3+x，
求导数得f′（x）=3x2+1＞0对任意x∈R恒成立
∴f（x）是R上的增函数．当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为f（2）=10
∵对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c2-9c恒成立
∴10＜c2-9c⇒c2-9c-10＞0⇒c＜-1或c＞10
综上所述，得实数c的取值范围为c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）． |
举一反三
已知2f（x）+f（）=-（x≠0），则下列说法正确的为（ ）| A．f（x）为奇函数且在（0，+∞）上为增函数 | | B．f（x）为奇函数且在（0，+∞）上为减函数 | | C．f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数 | | D．f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数 |
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| 若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为______ |
函数f（x）是定义在区间[-10，10]上偶函数，且f（3）＜f（1）．则下列各式一定成立的是（ ）| A．f（-1）＜f（-3） | B．f（3）＞f（2） | C．f（-1）＞f（-3） | D．f（2）＞f（0） |
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已知2f（x）+f（）=-（x≠0），则下列说法正确的是（ ）| A．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为增函数 | | B．f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为减函数 | | C．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为增函数 | | D．f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为减函数 |
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| 已知函数y=f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）与y=log3|x|的图象的交点的个数为是______． |
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