已知椭圆C的两焦点分别为F1（-22，0）、F2（22，0），长轴长为6，（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点

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已知椭圆C的两焦点分别为F₁（-2

，0）、F₂（2

，0），长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

答案

（1）由F1(-2

，0)、F2(2

，0)，长轴长为6
得：c=2

，a=3所以b=1
∴椭圆方程为

=1…（5分）
（2）设A

x1，y1

，B

x2，y2

，由（1）可知椭圆方程为

=1①，
∵直线AB的方程为y=x+2②…（7分）
把②代入①得化简并整理得10x²+36x+27=0
∴x1+x2=-

，x1x2=

…（10分）
又|AB|=

(1+12)(

182

-4×

)

…（12分）

举一反三

在同一坐标系中，方程

=1与bx²=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x²+y²-2ax-4y+a²=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面积的最大值．

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已知椭圆C：

=1，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．

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过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标；
（3）当

S△APO

最小时，求

•

的值．

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如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

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