设函数y=f(x)在(0,+∞)上有定义,对于给定的正数K,定义函数fk(x)=f(x),f(x)≤KK,f(x)>K,取函数f(x)=52x2-3x2lnx,

设函数y=f(x)在(0,+∞)上有定义,对于给定的正数K,定义函数fk(x)=f(x),f(x)≤KK,f(x)>K,取函数f(x)=52x2-3x2lnx,

题型:填空题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)在(0,+∞)上有定义,对于给定的正数K,定义函数fk(x)=





f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
,取函数f(x)=
5
2
x2-3x2lnx
,若对任意的x∈(0,+∞),恒有fk(x)=f(x),则K的最小值为______.
答案
∵函数fk(x)=





f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K

对任意的x∈(0,+∞),恒有fk(x)=f(x),
∴k≥f(x)最大值
由于f′(x)=5x-3x-6xlnx=2x-6xlnx,
令f′(x)=0,解得x=0(舍),或x=e
1
3

当0<xe
1
3
时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x>e
1
3
时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
故当x=e
1
3
时,f(x)取到最大值f(e
1
3
)=
3
2
e
2
3

故当k≥
3
2
e
2
3
时,恒有fk(x)=f(x).
因此K的最小值是
3
2
e
2
3

故答案为:
3
2
e
2
3
举一反三
若函数f(x)=
x3+sinx
x4+cosx+2
在(-∞,+∞)上的最大值与最小值分别为M与N,则有(  )
A.M+N=0B.M-N=0C.MN=0D.
M
N
=0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0
(1)证明:函数f(x)是奇函数;
(2)若f(1)=2,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为(  )
A.y=
ex-e-x
2
,x∈R
B.y=x3+1,x∈R
C.y=log2|x|,x∈R且x≠0D.y=cos2x,x∈R
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)在D上的“k阶增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,x>0时,f(x)=|x-a|-a,其中a为正常数,若f(x)为R上的“2阶增函数”,
则实数a的取值范围是(  )
A.(0,2)B.(0,1)C.(0,
1
2
D.(0,
1
4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
≤f(
x1+x2+…+xn
n
).若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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