已知f(x)=x,g(x)=x+a (a>0)(1)当a=4时,求|f(x)-ag(x)f(x)|的最小值(2)当1≤x≤4时,不等式|f(x)-ag(x)f
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已知f(x)=x,g(x)=x+a (a>0)(1)当a=4时,求|f(x)-ag(x)f(x)|的最小值(2)当1≤x≤4时,不等式|f(x)-ag(x)f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=
x
,g(x)=x+a (a>0)
(1)当a=4时,求
|
f(x)-ag(x)
f(x)
|
的最小值
(2)当1≤x≤4时,不等式
|
f(x)-ag(x)
f(x)
|
>1恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)当a=4时,
|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-4x -16
x
|=|1-(4
x
+
16
x
) |
∵
x
>0
,∴
4
x
+
16
x
≥ 16
,
当
x
=
4
x
,即x=4时
,取“=”号
故
|
f(x)-ag(x)
f(x)
|
的最小值为15;
(2)
|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-ax -
a
2
x
|=|1-(a
x
+
a
2
x
) |
(1≤x≤4)
设
t=
x
,则问题等价于
|1-(at+
a
2
t
) |>1
,t∈[1,2]时恒成立,
即
at+
a
2
t
<0
或
at+
a
2
t
>2
,t∈[1,2]时恒成立,
令
h(t)=a(t+
a
t
)
,则只需h(t)在[1,2]上的最小值大于2或最大值小于0即可,
由函数
y=x+
a
x
的单调性知
a
>2
h
(t)
min
=h(2)>2
或
1≤
a
≤2
h
(t)
min
=h(
a
)>2
或
0<
a
<1
h
(t)
min
=h(1)>2
,
a
>2
h
(t)
max
=h(1)<0
或
1≤
a
≤2
h
(t)
max
=h(1)<0
h(2)<0
或
0<
a
<1
h
(t)
max
=h(2)<0
或a<0
解得a>1或a<0
举一反三
已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.
(1)求证:函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调减函数
(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)和g(x)的定义域都是实数集R,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且当x<0时,f"(x)g(x)+f(x)g"(x)>0,g(-2)=0,则不等式f(x)g(x)>0的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=a+
1
2
x
+1
,a∈R.
(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求a的值;
(2)若函数
f(x)=a+
1
2
x
+1
在区间(1,2)恰有一个零点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
4
-2ax
2
.
(I)求证:方程f(x)=1有实根;
(II)h(x)=f(x)-x在[0,1]上是单调递减的,求实数a的取值范围;
(III)当x∈[0,1]时,关于x的不等式|f′(x)|>1的解集为空集,求所有满足条件的实数a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递减,则满足
f(2x-1)<f(
1
3
)
的x取值范围是( )
A.
(
2
3
,+∞)
B.
(-∞,
1
3
)
C.
(-∞,
1
3
)∪(
2
3
,+∞)
D.
(
1
3
,
2
3
)
题型:单选题
难度:一般
|
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