已知函数f(x)=x4-2ax2.(I)求证:方程f(x)=1有实根;(II)h(x)=f(x)-x在[0,1]上是单调递减的,求实数a的取值范围;(III)当
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x4-2ax2. (I)求证:方程f(x)=1有实根; (II)h(x)=f(x)-x在[0,1]上是单调递减的,求实数a的取值范围; (III)当x∈[0,1]时,关于x的不等式|f′(x)|>1的解集为空集,求所有满足条件的实数a的值. |
答案
(I)要证x4-2ax2=1的实根, 设t=x2,也就是证明方程t2-2at=1有非负实数根. 而△=4a2+4>0,故可设t2-2at-1=0的两根为t1,t2. t1t2=-1,∴t1,t2一正一负, ∴方程有正根 ∴方程f(x)=1有实根; (II)由题设知对任意的x∈[0,1]时, h′(x)=f′(x)-1=4x3-4ax-1≤0恒成立, x=0时显然成立; 对任意的0<x≤1,a≥x2-,∴a≥(x2-)max 而g(x)=x2-在(0,1]上单调增, ∴a≥f(1)=, ∴a的取值范围为[,+∞). (III)由题设知,当x∈[0,1]时,|4x3-4ax|≤1恒成立 记F(x)=4x3-4ax 若a≤0则F(1)=4-4a≥4,不满足条件; 若a>0则F′(x)=12x2-4a=12(x-)(x+) ①当<1即0<a<3时,F(x)在[0,]上递减,在[,1]上递增, 于是,|F(x)|max=max{-F(),F(1)}=max{,4-4a}≤1 解之得:a= ②当≥1即a≥3时,F(x)在[0,1]上递减,于是|F(x)|max=-F(1)=4-4a≥8,与题意矛盾. 综上所述:a=. |
举一反三
已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递减,则满足f(2x-1)<f()的x取值范围是( )A.(,+∞) | B.(-∞,) | C.(-∞,)∪(,+∞) | D.(,) |
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若函数f(x)=是定义域上的连续函数,则实数a=______. |
判断方程2x+x2y+y=0所表示的曲线关于______对称(填x轴或y轴或原点). |
定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)成立,且f(x)在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>c | B.a>c>b | C.b>c>a | D.c>b>a |
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若不等式|2x-a|>x-2对任意x∈(0,3)恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)∪[7,+∞) | B.(-∞,2)∪(7,+∞) | C.(-∞,4)∪[7,+∞) | D.(-∞,2)∪(4,+∞) |
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