已知函数f(x)满足f(x+1)=1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4
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已知函数f(x)满足f(x+1)=1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4
题型:填空题
难度:一般
来源:南充一模
已知函数f(x)满足
f(x+1)=
1
f(x)
,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
答案
由于f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为2的函数,
x在[0,1],f(x)=x 由于f(x)是偶函数,x在[-1,0],f(x)=-x
f(x)是周期为2的函数 f(2)=f(0)=0 函数解析式:y=-x+2 x在[2,3]时,
函数解析式:y=x-2 g(x)仍为一次函数,有4个零点,
故在四段内各有一个零点.
x在[-1,0),g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k 令g(x)=0,∴x=-
k
k+1
∴-1≤-
k
k+1
<0,解得k>0
x在(0,1],g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k,令g(x)=0,∴x=
k
k+1
∴0<
k
k+1
≤1 解的0<k≤
1
2
x在(1,2],g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k,令g(x)=0,∴x=
2-k
k+1
∴1<
2-k
k+1
≤2,解的0≤k<
1
2
x在(2,3],g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k,令g(x)=0,∴x=
k+2
1-k
∴2<
k+2
1-k
≤3,解的0<k≤
1
4
综上可知,k的取值范围为:0<k≤
1
4
故答案为:(0,
1
4
].
举一反三
设f(x)=
lo
g
1
2
1-ax
x-1
为奇函数,a为常数.
(1)求a的值;并判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)若对于区间(3,4)上的每一个x的值,不等式f(x)>
(
1
2
)
x
+m
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2
x
-1,则f(log
2
10)的值( )
A.
3
5
B.
8
5
C.
-
5
8
D.
-
5
3
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
2
x
-(
1
2
)
x
,判断f(x)的奇偶性,并利用奇偶性的定义给予证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),当x<0时f(x)<0,f(1)=2;
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求f(x)在[-3,3]的最值;
(3)当t>2时,f(klog
2
t)+f(
lo
g
2
t-lo
g
22
-2
)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知偶函数f(x)在[-1,0]上为单调增函数,则( )
A.
f(sin
π
8
)<f(cos
π
8
)
B.f(sin1)>f(cos1)
C.f(cos2)>f(sin2)
D.
f(cos
7π
12
)<f(sin
7π
12
)
题型:单选题
难度:一般
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