设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于______.
题型:填空题难度:简单来源:浙江
设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于______. |
答案
验证发现, 当x=1时,将1代入不等式有0≤a+b≤0,所以a+b=0, 当x=0时,可得0≤b≤1,结合a+b=0可得-1≤a≤0 令f(x)=x4-x3+ax+b,即f(1)=a+b=0 又f′(x)=4x3-3x2+a,f′′(x)=12x2-6x, 令f′′(x)>0,可得x>,则f′(x)=4x3-3x2+a在[0,]上减,在[,+∞)上增 又-1≤a≤0,所以f′(0)=a<0,f′(1)=1+a≥0 又x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b,结合f(1)=a+b=0知,1必为函数f(x)=x4-x3+ax+b的极小值点,也是最小值点 故有f′(1)=1+a=0,由此得a=-1,b=1 故ab=-1 故答案为-1 |
举一反三
已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时, (I)求证:1-x≤f(x)≤; (II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为( ) |
已知函数f (x)=x3-3ax+1,a∈R. (Ⅰ) 求f (x)的单调区间; (Ⅱ) 求所有的实数a,使得不等式-1≤f (x)≤1对x∈[0,]恒成立. |
设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为______. |