已知:偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知:偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论. |
答案
因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 且f(x)在(0,+∞)上是增函数, 故f(x)在(-∞,0)是减函数. 证明如下:若-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞. 由于偶函数在(0,+∞)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1) 又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2) 综上可得:f(x1)>f(x2) 故f(x)在(-∞,0)上是减函数 |
举一反三
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件: ①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)恒成立; ②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立. (I)求f(1)的值; (Ⅱ)求f(x)的解析式; (Ⅲ)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立. |
若函数f(x)=x+x3,x1,x2∈R,且x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.一定大于0 | B.一定小于0 | C.一定等于0 | D.正负都有可能 |
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设f(x)为定义于(-∞,+∞)上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(-2)、f(-π)、f(3)的大小顺序是( )A.f(-π)>f(3)>f(-2) | B.f(-π)>f(-2)>f(3) | C.f(-π)<f(3)<f(-2) | D.f(-π)<f(-2)<f(3) |
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定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则( )A.f(sin)<f(cos) | B.f(sin)>f(cos) | C.f(sin1)<f(cos1) | D.f(sin)>f(cos) |
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