二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R,a≠0)满足条件:①当x∈R时,f(x)的图象关于直线x=-1对称;②f(1)=1;③f(x)在R上的最小值为0
题型:解答题难度:一般来源:不详
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R,a≠0)满足条件: ①当x∈R时,f(x)的图象关于直线x=-1对称;②f(1)=1;③f(x)在R上的最小值为0; (1)求函数f(x)的解析式; (2)求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x. |
答案
(1)∵f(x)的对称轴为x=-1, ∴-=-1,即b=2a…(1分) 又f(1)=1,即a+b+c=1…(2分) 由条件③知:a>0,且=0,即b2=4ac…(3分) 由上可求得a=,b=,c=…(4分) ∴f(x)=x2+x+…(5分) (2)由(1)知:f(x)=(x+1)2,图象开口向上. 而y=f(x+t)的图象是由y=f(x)平移t个单位得到,要x∈[1,m]时,f(x+t)≤x 即y=f(x+t)的图象在y=x的图象的下方,且m最大.…(7分) ∴1,m应该是y=f(x+t)与y=x的交点横坐标,…(8分) 即1,m是(x+t+1)2=x的两根,…(9分) 由1是(x+t+1)2=x的一个根,得(t+2)2=4,解得t=0,或t=-4…(11分) 把t=0代入原方程得x1=x2=1(这与m>1矛盾)…(12分) 把t=-4代入原方程得x2-10x+9=0,解得x1=1,x2=9∴ m=9…(13分) 综上知:m的最大值为9.…(14分) |
举一反三
若f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且在[0,2]上单调递减,若f(m)+f(2m-1)<0,则m的取值范围是( )A.[-1,) | B.(,] | C.(,+∞) | D.(-∞,) |
|
定义在[-2,2]上的奇函数g(x),在[0,2]上单调递减.若g(1-m)-g(m)<0,则实数m的取值范围是______. |
已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x);当x<0时,f(x)等于( )A.-x(1+x) | B.x(1+x) | C.x(1-x) | D.-x(1-x) |
|
已知函数f(x)=b•ax,(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24) (1)求f(x)的解析式; (2)若不等式()x+()x+1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围. |
已知定义在R上的奇函数f(x)=. (1)求a、b的值; (2)若不等式-m2+(k+2)m-<f(x)<m2+2km+k+对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围; (3)若函数g(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解. |
最新试题
热门考点