已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围. |
答案
(1)令x=0,则∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴f(1)-f(0)=0, ∴f(1)=f(0) ∵f(0)=1 ∴f(1)=1, ∴二次函数图象的对称轴为x=. ∴可令二次函数的解析式为f(x)=y=a(x-)2+h. 令x=-1,则∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴f(0)-f(-1)=-2 ∵f(0)=1 ∴f(-1)=3, ∴ ∴a=1,h= ∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-)2+=x2-x+1 (2)∵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方 ∴x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立 ∴x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立 令g(x)=x2-3x+1,则g(x)=(x-)2- ∴g(x)=x2-3x+1在[-1,1]上单调递减 ∴g(x)min=g(1)=-1, ∴m<-1 |
举一反三
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=1-e-x+1,则当x>0时,f(x)=______. |
定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式: ①f(a)•f(-a)≤0; ②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ③f(b)•f(-b)≥0; ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 其中正确的是______(把你认为正确的不等式的序号全写上). |
若f(x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则(x-1)f(x)<0的解集为______. |
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件: Ⅰ.对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;Ⅱ.f(1)=1;Ⅲ.若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称f(x)为“友谊函数”,请解答下列各题: (1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值; (2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由. |
设函数f(x)=x2+m(m∈R). (1)如果m=,方程y=f(x)-kx在[-1,1]上存在零点,求k的取值范围; (2)如果m=-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围; (3)求h(x)=2f(x)+x|x-m|的最小值. |
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