已知m=(asinx,cosx),n=(sinx,bsinx),其中a,b,x∈R.若f(x)=m•n满足f(π6)=2,且f(x)的导函数f"(x)的图象关于

已知m=(asinx,cosx),n=(sinx,bsinx),其中a,b,x∈R.若f(x)=m•n满足f(π6)=2,且f(x)的导函数f"(x)的图象关于

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知


m
=(asinx,cosx),


n
=(sinx,bsinx)
,其中a,b,x∈R.若f(x)=


m


n
满足f(
π
6
)=2
,且f(x)的导函数f"(x)的图象关于直线x=
π
12
对称.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,
π
2
]
上总有实数解,求实数k的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)=


m


n
=asin2x+bsinxcosx
=
a
2
(1-cos2x)+
b
2
sin2x

f(
π
6
)=2
得,a+


3
b=8

∵f"(x)=asin2x+bcos2x,又∵f"(x)的图象关于直线x=
π
12
对称,∴f′(0)=f′(
π
6
)

b=


3
2
a+
1
2
b
,即b=


3
a

由①、②得,a=2,b=2


3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1-cos2x+


3
sin2x
=2sin(2x-
π
6
)+1

x∈[0,
π
2
]
-
π
6
≤2x-
π
6
6

-1≤2sin(2x-
π
6
)≤2
,f(x)∈[0,3].
又∵f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,
∴-3≤log2k≤0,解得
1
8
≤k≤1
,即k∈[
1
8
,1]
举一反三
定义在R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax3+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值
(1)求a,b
(2)当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bsinx+1且f(1)=5,则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的单调函数满足f(-3)=2,,且对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.
(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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2-x
x
已知函数f(x)=mx-
m
x
,g(x)=2lnx

(Ⅰ)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当m=1时,判断方程f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根.
(Ⅲ)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.