已知函数f(x)=mx-mx,g(x)=2lnx.(Ⅰ)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当m=1时,判断方程f(x)=g(

已知函数f(x)=mx-mx,g(x)=2lnx.(Ⅰ)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当m=1时,判断方程f(x)=g(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=mx-
m
x
,g(x)=2lnx

(Ⅰ)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当m=1时,判断方程f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根.
(Ⅲ)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x-
2
x
f′(x)=2+
2
x2
,f′(1)=4
,切点坐标为(1,0),∴切线方程为y=4x-4;
(Ⅱ)m=1时,令h(x)=f(x)-g(x)=x-
1
x
-2lnx
h′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=
(x-1)2
x2
≥0

∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,
又h(1)=0,所以f(x)=g(x)在(1,+∞)内无实数根; 
(Ⅲ)不等式f(x)-g(x)<2恒成立,即mx-
m
x
-2lnx<2
恒成立,也就是m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2-1>0,则当x∈(1,e]时,m<
2x+2xlnx
x2-1
恒成立,
G(x)=
2x+2xlnx
x2-1
,只需m小于G(x)的最小值,
G(x)=
(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x
(x2-1)2
=
-2(x2lnx+lnx+2)
(x2+1)2

∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G"(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为G(e)=
4e
e2-1

则m的取值范围是(-∞,
4e
e2-1
)
举一反三
若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sinx,求当x<0时,f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)满足f(x+2)=-
1
f(x)
,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为单调递减函数;
①直接写出a的范围(不必证明);
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)•f(x)=1对于x∈R恒成立,且f(x)>0,则f(2011)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=x2+(a-1)x+a为偶函数,则a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.