已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）为单调递减函数；
①直接写出a的范围（不必证明）；
②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围． |
答案
（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x2+2x）=x2-2x，
所以f（x）=．
（2）①当a≤0时，对称轴x=≤0，所以f（x）=-x2+ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m2+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m2+t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m2），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m2恒成立，
所以t＞-m2-m+1=-(m+)2+恒成立，所以t＞．
即实数t的范围为：（，+∞）． |
举一反三
| 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2011）=______． |
| 若函数f（x）=x2+（a-1）x+a为偶函数，则a=______． |
| 已知函数f(x)=，则f(f())=______．． |
| 设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③当0≤x＜1时，f（x）=2x-1．则f()+f(1)+f()+f(2)+f()=______． |
已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． |
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