已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.(1)证明:f(x)为
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0. (1)证明:f(x)为奇函数; (2)证明:f(x)在[-1,1]上为单调递增函数; (3)设f(1)=1,若f(x)<m2-2am+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)令x=y=0,∴f(0)=0, 令y=-x,f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数 (2)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数; 令-1≤x1<x2≤1, 则有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0, ∴f(x)在[-1,1]上为单调递增函数; (3)f(x)在[-1,1]上为单调递增函数,f(x)max=f(1)=1,使f(x)<m2-2am+1对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,只要m2-2am+1>1,即m2-2am>0 令g(a)=m2-2am=-2am+m2, 要使g(a)>0恒成立,则, ∴m∈(-∞,-2)∪(2,+∞); |
举一反三
(中数量积)在△ABC中,AB=,BC=2,∠A=,如果不等式|-t|≥||恒成立,则实数t的取值范围是______. |
定义在R上的偶函数y=f(x)满足: ①对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3) ②f(-5)=-1; ③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有>0则 (1)f(2009)=______; (2)若方程f(x)=0在区间[a,6-a]上恰有3个不同实根,实数a的取值范围是______. |
设正实数a,b满足等式2a+b=1且有2-4a2-b2≤t-恒成立,则实数t的取值范围是______. |
设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x);又当0≤x≤1时,f(x)=x,则方程f(x)=-的解集为______. |
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x-)=f(x+)恒成立,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈(-1,0)时,函数f(x)的解析式为______. |
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