函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(12+x)=f(12-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）A．2009B．1C．0D．-1

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函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(12+x)=f(12-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）A．2009B．1C．0D．-1

题型：单选题难度：简单来源：不详
函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）
A．2009B．1C．0D．-1
答案
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x)，所以f（1）=f（0）=0，且f[
1
2
+ (
1
2
+x)]=f[
1
2
-(
1
2
+x)]，
则f（x+1）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x+1），即f（x+1）=-f（x+2），
所以f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的函数，
因此f（1）=f（2）=f（3）=…=f（2009）=0，
所以f（1）+f（2）+…+f（2009）=0，
故选C．
举一反三
定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+1）=f（-x-1）与f（x+1）=f（x-1），且当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（　　）
A．f(sin
1
2
)＜f(cos
1
2
)		B．f(sin
1
3
)＜f(cos
1
3
)
C．f(sin
π
3
)＞f(cos
π
3
)		D．f（sin1）＜f（cos1）
题型：单选题难度：简单| 查看答案
已知函数f（x）=ax+
b
x
+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=





ax+1，-1≤x＜0 
  
bx+2
x+1
，0≤x≤1
其中a，b∈R．若f(
1
2
)=f(
3
2
)，
则a+3b的值为______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=
3x
9x+1
-
1
2
，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若


OM
=x


OA
，


ON
=y


OB
．
（1）求证：x与y的关系为y=
x
x+1
；
（2）设f(x)=
x
x+1
，定义函数F(x)=
1
f(x)
-1(0＜x≤1)，点列Pi（xi，F（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{xn}是以首项为1，公比为
1
2
的等比数列，O为原点，令


OP
=


OP1
+


OP2
+…+


OPn
，是否存在点Q（1，m），使得


OP
⊥


OQ
？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
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