(1)∵f(x)=ax++c(a>0), ∴f′(x)=a-⇒f′(1)=a-b=1⇒b=a-1 ∴f(1)=a+a-1+c=2a-1+c. 又∵点(1,f(1))在切线y=x-1上, ∴2a-1+c=0⇒c=1-2a, ∴. (2)∵f(x)=ax++1-2a(a>0), f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立, 设g(x)=f(x)-lnx,则g(x)=f(x)-lnx≥0在[1,+∞]上恒成立, ∴g(x)min≥0, 又∵g′(x)=a--==, 而当=1时,a=. 1°当≤1即a≥时, g"(x)≥0在[1,+∞]上恒成立, ∴g(x)min=g(1)=2a-1≥0⇒a≥; 2°当>1即0<a<时, g"(x)=0时x=; 且1≤x<时,g"(x)<0, 当x>时,g"(x)>0; 则g(x)min=g()≥0①, 又∵g()≤g(1)=2a-1<0与①矛盾,不符题意,故舍. ∴综上所述,a的取值范围为:[,+∞).
(3)证明:由(1)可知a≥时,f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立, 则当a=时,(x-)≥lnx在[1,+∞]上恒成立, 令x依次取,,,,…时, 则有×(-)≥ln,×(-)≥ln, … ×(-)≥ln, 由同向不等式可加性可得 [(+++…+)-(+++…+)]≥ln(n+1), 即[(1+++…++n)-(n----…-)]≥ln(n+1), 也即[2(1+++…+)+-1]≥ln(n+1), 也即1+++…+>ln(n+1)+(n≥1). 解法二:①当n=1时左边=1,右边=ln2+<1,不等式成立; ②假设n=k时,不等式成立,就是1+++…+>ln(k+1)+(k≥1). 那么1+++…++>ln(k+1)++ =ln(k+1)+. 由(2)知:当a≥时,有f(x)≥lnx (x≥1) 令a=有f(x)=(x-)≥lnx (x≥1) 令x=得(-)≥ln=ln(k+2)-ln(k+1) ∴ln(k+1)+≥ ln(k+2)+ ∴1+++…++>ln(k+2)+ 这就是说,当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知不等式对任何n∈N*都成立. |