(1)当a=时,f′(x)=x2+2bx+b-,…(1分) 依题意 f′(x)=x2+2bx+b->-即x2+2bx+b>0恒成立 ∴△=4b2-4b<0,解得 0<b<1 所以b的取值范围是(0,1)…(4分) (2)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax,f"(x)=3ax2-a. 又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,所以a=1,即f(x)=x3-x.…(6分) ∴f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是单调递增函数,在[-,]上是单调递减函数, 由f(x)=0解得x=±1,x=0,…(7分) 法一:如图所示,作y=f(x)与y=-的图象,若只有一个交点,则 ①当-1<t≤-时,f(t)≥-t≥0,即t3-t≥-,解得-≤t≤-; ②当-<t<0时,f(t)>-t≥0,解得-<t<0;③当t=0时,不成立; ④当0<t≤时,f(t)≤-t<0,即t3-t≤-,解得0<t≤; ⑤当1≥t>时,f(t)<-t<0,解得<t<; ⑥当t>1时,1-=f()⇒t=.y=-…(13分) 综上t的取值范围是-≤t<0或0<t<或t=.…(14分) 法二:作y=f(x)与y=-x的图知交点横坐标为x=±,x=0 当x∈[-,0)∪(0,)∪{}时,过y=-x图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f(x)都只有唯一交点,当x取其它任何值时都有两个或没有交点. 所以当t∈[-,0)∪(0,)∪{}时,方程f(x)=-t在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根.
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