已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. |
答案
当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立. 只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立, 只要-loga3≥1成立即可, ∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a<1. 综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[,1). |
举一反三
函数f(x)=alnx+1(a>0). (Ⅰ) 当x>0时,求证:f(x)-1≥a(1-); (Ⅱ) 在区间(1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a的范围. (Ⅲ) 当a=时,求证:f(2)+f(3)+…+f(n+1)>2(n+1-)(n∈N*). |
已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有>0,若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],t∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______. |
已知y=f(x)是R上的奇函数,且x<0时,f(x)=x+2x;则当x>0时,f(x)=______. |
当x∈(1,+∞)时,下列函数的图象全在直线y=x下方的偶函数是( )A.y=x | B.y=x-2 | C.y=x2 | D.y=x-1 |
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