已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0,若f(x)≤t2-2at+
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已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0,若f(x)≤t2-2at+
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,若f(x)≤t
2
-2at+1对所有x∈[-1,1],t∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
任取-1≤x
1
<x
2
≤1,则
f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)=
f(
x
1
)+f(-
x
2
)
x
1
-
x
2
•(x
1
-x
2
)
∵-1≤x
1
<x
2
≤1,∴x
1
+(-x
2
)≠0,
由已知
f(
x
1
)+f(-
x
2
)
x
1
-
x
2
>0,又x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
所以f(x)在[-1,1]上为增函数.
∵f(1)=1,∴对x∈[-1,1],恒有f(x)≤1.
所以要使f(x)≤t
2
-2at+1对所有x∈[-1,1],t∈[0,1]恒成立,
即要t
2
-2at+1≥1成立,故t
2
-2at≥0成立.
∵t∈[0,1],
∴t≠0时2a≤t,即a≤
t
2
,解得a∈(-∞,0].
t=0时,a∈R,
综上,a∈(-∞,0].
故答案为:(-∞,0].
举一反三
已知y=f(x)是R上的奇函数,且x<0时,f(x)=x+2
x
;则当x>0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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当x∈(1,+∞)时,下列函数的图象全在直线y=x下方的偶函数是( )
A.y=
x
1
2
B.y=x
-2
C.y=x
2
D.y=x
-1
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
bx+c
x+1
的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若数列a
n
(n∈N*)满足:
a
n
>0,
a
1
=1,
a
n+1
=[f(
a
n
)
]
2
,求数列a
n
的通项公式a
n
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
2
(x
2
-ax-a)在区间(-∞,1-
3
]上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=k•a
-x
(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数
g(x)=
f(x)-1
f(x)+1
,试判断函数g(x)的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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