已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若

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已知函数f（x）=

4x2-7

2-x

，x∈[0，1]，
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

答案

（1）对函数f（x）=

4x2-7

2-x

，x∈[0，1]，求导，得
f′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

=-

(2x-1)(2x-7)

(2-x)2

，
令f′（x）=0解得x=

1

2

或x=

7

2

．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：



所以，当x∈（0，

1

2

）时，f（x）是减函数；当x∈（

1

2

，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x²-a²）．
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜5（1-a²）≤0，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a²，g（0）=-2a，
即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，
任给x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），
则[1-2a-3a²，-2a]⊃[-4，-3]，即

1-2a-3a2≤-4① -2a≥-3②

，
解①式得a≥1或a≤-

5

3

，
解②式得a≤

3

2

，
又a≥1，故a的取值范围内是1≤a≤

3

2

．