已知f （x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f （x）＜0对一切x∈R成立，试判断-1f(x)在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f （x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f （x）＜0对一切x∈R成立，试判断-

1

f(x)

在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

答案

-

1

f(x)

是（-∞，0）上的单调递减函数，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）为偶函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
又-

1

f(x)

-[-

1

f(x2)

]=

1

f(x2)

-

1

f(x1)

=

f(x1)-f(x2)

f(x2)f(x1)

＞0
（∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0）
∴-

1

f(x1)

＞-

1

f(x2)

，
∴-

1

f(x)

是（-∞，0）上的单调递减函数．