已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3,(Ⅰ)求f[f(-1)]的值; (Ⅱ)求函数f(x)的解析式; (Ⅲ)求函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3, (Ⅰ)求f[f(-1)]的值; (Ⅱ)求函数f(x)的解析式; (Ⅲ)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值. |
答案
(Ⅰ)由题意可得:f(x)是定义在实数集R上的奇函数, 所以f(-1)=-f(1),并且f(0)=0. 又因为当x>0时,f(x)=x2-4x+3, 所以f(1)=0, 所以f(-1)=0. 所以f[f(-1)]=f(0)=0…4′ (Ⅱ)设x<0则-x>0, 因为当x>0时,f(x)=x2-4x+3, 所以f(-x)=x2+4x+3, 又因为f(x)是定义在实数集R上的奇函数, 所以f(x)=-x2-4x-3. 所以f(x)= | x2-4x+3(x>0) | 0(x=0) | -x2-4x-3(x<0) |
| | …4′ (Ⅲ)由题意可得:f(x)=x2-4x+3,x∈[t,t+1], 所以二次函数的对称轴为x=2, 当t+1<2,即0<t≤1时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, 所以f(x)min=f(t+1)=t2-2t. 当t>2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, 所以f(x)min=f(t)=t2-4t+3. 当t≤2<t+1时,即1<t≤2时,f(x)在[t,t+1]上先减后增, 所以f(x)min=f(2)=-1. 所以f(x)min= | t2-2t(0<t≤1) | -1(1<t≤2) | t2-4t+3(t>2) |
| | …6′ |
举一反三
下列说法错误的是( )A.y=x4+x2是偶函数 | B.偶函数的图象关于y轴对称 | C.y=x3+x2是奇函数 | D.奇函数的图象关于原点对称 |
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函数f(x+1)为偶函数,且x<1时,f(x)=x2+1,则x>1时,f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2-4x+4 | B.f(x)=x2-4x+5 | C.f(x)=x2-4x-5 | D.f(x)=x2+4x+5 |
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函数y=lg|x|( )A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 | B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 | C.是奇函数,在区间(-∞,0)上单调递增 | D.是奇函数,在区间(-∞,0)上单调递减 |
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已知函数f(x)=+(a∈N*),对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1,则正整数a的取值个数是______. |
若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值0,则它在[-3,-1]上( )A.是减函数,有最小值0 | B.是增函数,有最小值0 | C.是减函数,有最大值0 | D.是增函数,有最大值0 |
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