已知函数f（x）=，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

已知函数f（x）=

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求证函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．

答案

解：由题意知：（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对

x∈R有

∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂则

∵x₁＜x₂且f（x）=2x为增函数，
∴

又∵

∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0
故，函数f（x）在x∈（﹣∞，+∞）上是增函数．

举一反三

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x﹣a^﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）= [ ]
A．2
B．

C．

D．a²

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已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）

f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（2011）=（）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=

，若函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）．
（1）求实数a的值．
（2）判断函数的单调性．

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已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）= 　 [ ]
A．﹣2
B．2
C．﹣98
D．98

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设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为[ ]
A．{x|-1＜x＜0，或＞1}
B．{x|x＜-1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜-1，或x＞1}
D．{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}

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