已知函数，且f（4）=3．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若在区间[1，3]上，不等

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已知函数

，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若在区间[1，3]上，不等式f（x）＞2x+2m+1恒成立，试确定实数m的取值范围．

答案

解：（1）由f（4）=3得：n=1
∴，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+?）
又
∴函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
则x₁﹣x₂＜0，x₁x₂＞0
那么=
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x）＞2x+2m+1，
得
∴2m+1
∴当x∈[1，3]，的最小值是﹣5，
∴2m+1＜﹣5，得m＜﹣3，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．

举一反三

已知函数f（x）=x²+

（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

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f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=4且cosα=

，则f（4cos2α）=（）。

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已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=

，则f（﹣4）的值是（）

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对于函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于直线x=0对称；
（2）若f（1﹣x）=f（x﹣1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）若f（1+x）=f（x﹣1），则函数y=f（x）是周期函数；
（4）若f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），则函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
其中所有正确命题的序号是（）

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已知函数f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若不等式2a·g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）。

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