设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R， （Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求f（x）的最小值。

题型：解答题难度：一般来源：高考真题

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求f（x）的最小值。

答案

解：（Ⅰ）当a=0时，函数，此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，，
，
此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。
（Ⅱ）（ⅰ）当x≤a时，函数，
若，则函数f（x）在(-∞，a]上单调递减，
从而，函数f（x）在(-∞，a]上的最小值为；
若，则函数f（x）在(-∞，a]上的最小值为；
（ⅱ）当x≥a时，函数；
若，则函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为；
若，则函数f（x）在[a，+∞)上单调递增，
从而，函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为；
综上，当时，函数f（x）的最小值是；当时，函数f（x）的最小值是；当时，函数f（x）的最小值是。