求证:如果函数f(x)的定义域关于原点对称,那么f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

求证:如果函数f(x)的定义域关于原点对称,那么f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

题型:解答题难度:一般来源:同步题
求证:如果函数f(x)的定义域关于原点对称,那么f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
答案
证明:∵f(x)的定义域关于原点对称,
∴f(-x),f(x)皆有意义,
又∵

∵g(x),h(x)的定义域都是关于原点对称的,
,∴g(x)是奇函数;
,∴h(x)是偶函数;
综上可知,f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
举一反三
函数f(x),x∈R,且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数。
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判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)f(x)=x4+x;
(3)
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已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x2-x+2,求f(x),g(x)的解析式.
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函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
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设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=

[     ]

A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
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