已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x)。(1)求函数h(x)的定义域; (2)判断

已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x)。(1)求函数h(x)的定义域; (2)判断

题型:解答题难度:一般来源:0103 期中题
已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x)。
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)求不等式f(x)>g(x)的解集。
答案
解:(1)由题知:, 解得:-1<x<1,
∴函数h(x)的定义域为(-1,1)。
(2)证明:
∴函数h(x)的是偶函数。
(3)由题知:
①当0<a<1时,有,解得:-1<x<0,
∴不等式f(x)>g(x)的解集为{x|-1<x<0};
②当a>1时,有,解得:0<x<1,
∴不等式f(x)>g(x)的解集为{x|0<x<1};
综上所述:当0<a<1时,不等式f(x)>g(x)的解集为{x|-1<x<0};
当a>1时,不等式f(x)>g(x)的解集为{x|0<x<1}。
举一反三
若F(x)=f(x)-,且x=lgf(x),则F(x)是[     ]
A.偶函数
B.奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
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下列说法:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数b=2;
是奇函数又是偶函数;
③已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x),则当x∈R时,f(x)=x(1+|x|);
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),则f(x)是奇函数;
其中所有正确说法的序号是(    )。

题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列说法中不正确的是[     ]
A.图象关于原点成中心对的函数一定是奇函数
B.奇函数的图象一定经过原点
C.偶函数的图象不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y轴对称的函数一定是偶函数
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已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12) 为偶函数,则m的值是[     ]
A、1
B、2
C、3
D、4
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对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)[     ]
A.必是奇函数
B.必是偶函数
C.可以是奇函数也可以是偶函数
D.不能判定奇偶性
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