(12分) 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称,且f(-2)>f(3),设m>-n>0.(1) 试证明函数f(x)在(0,+∞)上
题型:解答题难度:简单来源:不详
(12分) 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称, 且f(-2)>f(3),设m>-n>0. (1) 试证明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2) 试比较f(m)和f(n)的大小,并说明理由. |
答案
(1)见解析;(2)f(m)<f(n). |
解析
(1)∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称, ∴对任意x∈R,恒有f(-x)=f(x),即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立, 据此可求出b="0." f(x)=ax2+c.再根据f(-2)>f(3),且f(-2)=f(2), 得f(2)>f(3),因而a<0.且f(x)在(0,+∞)上是减函数.. (2)∵m>-n>0,∴f(m)<f(-n).,再根据f(-n)=f(n),可得f(m)<f(n).. ∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称, ∴对任意x∈R,恒有f(-x)=f(x), 即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立. ∴2bx=0对任意x∈R恒成立. ∴b=0. ∴f(x)=ax2+c. ∵f(-2)>f(3),且f(-2)=f(2), ∴f(2)>f(3). ∴a<0.且f(x)在(0,+∞)上是减函数. 又∵m>-n>0, ∴f(m)<f(-n). 而f(-n)=f(n), ∴f(m)<f(n). |
举一反三
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(本小题满分14分)某公司生产的新产品的成本是2元/件,售价是3元/件, 年销售量为10万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是 (万元)时,产品的销售量将是原销售量的 倍,且 是 的二次函数,它们的关系如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819061342-27111.png)
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| 1
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| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819061342-50622.png)
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| 1.5
| 1.8
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| 1.5
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| (2)求 与 的函数关系式; (3)如果利润=销售总额 成本费 广告费,试写出年利润S(万元)与广告费 (万元)的函数关系式;并求出当广告费 为多少万元时,年利润S最大. |
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