(Ⅰ)由已知得t=0,=2mx+n, 则="n=0," =−2m+n=−2,从而n="0," m=1, ∴f(x)=x2. 则="2x, " g¢(x)=3ax2+b. 由f(1)="g(1)," =g¢(1)得a+b−3=2,3a+b=2,解得a=−1,b=5, ∴g(x)=−x3+5x−3(x>0) ……4分 (Ⅱ)∵F(x)=f(x)−g(x)=x3+x2−5x+3(x>0), 求导数得F¢(x)=3x2+2x−5=(x−1)(3x+5) ∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+¥)单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)="0. " ……8分 (Ⅲ)因 f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x−1. 下面验证都成立即可. 由(x−1)2=x2−2x+1³0,得x2³2x−1,知f(x)³2x−1恒成立. 设h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)= −x3+3x−2(x)>0, 求导数得h¢(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)(x>0), ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+¥)上单调递减,所以h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)的最大值为h(1)=0, 所以−x3+5x−3£2x−1,即g(x)£2x−1恒成立. 故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=−1 |