已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．
（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．
（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为2t．（注：区间[a，b]的长度为b-a）． |
答案
（1）∵f（x）=x2-8x+q2-q+1=（x-4）2+q2-q-15．
f（x）对称轴为x=4，开口向上，
f（x）在[-1.1]上单调递减，要满足区间上至少存在一点m，
使f（m）＜0，
即要求f（1）＜0，f（1）=q2-q-6＜0，
（q-3）（q+2）＜0，
解得：{q|-2＜q＜3}．
（2）．f（3）=q2-q-14，
f（t）=t2-8t+q2-q+1，
f（4）=q2-q-15．
若f（3）＜f（t），
值域为[q2-q-15，t2-8t+q2-q+1]，
区间长度为t2-8t+16=2t，
解得t=2（舍去）或8．
若f（3）＞f（t），值域为[q2-q-15，q2-q-14]，
区间长度为1=2t，解得t=（舍去）． |
举一反三
已知二次函数f（x）的图象过A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥0的解集．
（3）将f（x）的图象向右平移2个单位，求所得图象的函数解析式g（x）． |
| 已知函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[2a-3，4-a]是偶函数，则a+b=______． |
| 若函数f（x）=（x+a）（bx-a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为[-4，+∞），则该函数的解析式为______． |
| 已知二次函数y=f（x）与g（x）=x2的图象开口大小和方向都相同，且y=f（x）在x=m处取得最小值为-1．若函数y=f（x）在区间[-2，1]上的最大值为3，求m的值． |
| 已知f（x）=4x-2x+1+6，那么f（x）的最小值是（ ） |
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