(1)函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数. 理由:假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数, 则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx 令x=0,得1=m+0① 令x=π,得-1=m② 由①②矛盾知:函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数 (2)设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R) 则l()=a+b=2,∴a+b=4,∴l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a 设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1] 当a=0时,函数化为:y=4t,t∈[-1,1] ∵当t=1时,ymax=4∴l(x)=4sinx,符合题意 当a>0时,函数化为:y=-2a(t-)2+a+ 当≥1时,即0<a≤时 ∵当t=1时,ymax=4-2a ∴由4-2a=4得a=0,不符合a>0舍去 当-1<<1时,即a>或a<-(舍去)时 ∵当t=时,ymax=a+ ∴由ymax=a+=4,得a=4或a=(舍去) ∴b=0∴l(x)=4(2cos2x-1),符合题意 当≤-1时,即-≤a<0时,不符合a>0舍去 当a<0时,函数y=-2a(t-)2+a+的对称轴t=<0 ∵当t=1时,ymax=4-2a ∴由ymax=4-2a=4得a=0,不符合a<0舍去 综上所述,l(x)=4sinx或l(x)=4(2cos2x-1) |