设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值.
题型:解答题难度:一般来源:不详
设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值. |
答案
把等式看成关于a,b的直线方程:(x2-1)a+2xb+x-2=0, 由于直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,即≥, 所以a2+b2≥()2=≥, 因为x-2+在x∈[3,4]是减函数,上述式子在x=3,a=-,b=-时取等号, 故a2+b2的最小值为. |
举一反三
已知f(x)=-x2+2ax+1-a. (1)若f(x)在[0,1]上的最大值是2,求实数a的值; (2)设M={a∈R:f(x)在区间[-2,3]上的最小值为-1},试求M; (3)是否存在实数a使f(x)在[-4,2]上的值域为[-12.,13]?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=x2-x+.若函数的定义域和值域都是[1,a](a>1),求a的值. |
在[,2]上,函数f(x)=x2+px+q与函数g(x)=2x+在同一点处取得相同的最小值,那么函数f(x)在[,2]上的最大值是( ) |
已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a2,a48是2x2-7x+6=0的两个根,则a1•a2•a25•a48•a49的值为( ) |
已知一元二次函数y=f(x)满足f(-1)=12,且不等式f(x)<0的解集是{x|0<x<5},当a<0时,解关于x的不等式>1. |
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