函数f(x)=x2-2(2a-1)x+8(a∈R).(1)若f(x)在[2,+∞)的最小值为6,求a的值.(2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,且f

函数f(x)=x2-2(2a-1)x+8(a∈R).(1)若f(x)在[2,+∞)的最小值为6,求a的值.(2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,且f

题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)=x2-2(2a-1)x+8(a∈R).
(1)若f(x)在[2,+∞)的最小值为6,求a的值.
(2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,且f(x)>0,求实数a的取值范围.
答案
由题意函数图象开口向上,且其对称轴为x=2a-1,
(1)当2a-1≥2,即a≥
3
2
时,有f(x)min=f(2a-1)=6
   即(2a-1)2-2(2a-1)(2a-1)+8=6,即4a2-4a+9=6,即4a2-4a+3=0,由于△<0,此方程无解
   当2a-1<2,即a<
3
2
时,有f(x)min=f(2)=6
   即4-4(2a-1)+8=6,解得a=
5
4
3
2
,符合题意.
   故a=
5
4

 (2)若f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,由题意知,需要2a-1≤a,解得a≤1   ①
   又由f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数知f(a)>0,即a2-2(2a-1)a+8>0
   解得-
4
3
<a<2

   又由①得-
4
3
<a≤1

   故实数a的取值范围是-
4
3
<a≤1
举一反三
定义算式⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(  )
A.-1<a<1B.0<a<2C.-
3
2
<a<
1
2
D.-
1
2
<a<
3
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},同时满足:①A∩B≠∅;②-2∈A(p,q≠0),求p,q的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知A为三角形的一个内角,函数y=x2cosA-4xsinA+6,对于∀x∈R都有y>0,则角A的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若对∀x∈R,kx2-kx-1<0恒成立,则k的取值范围是(  )
A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
(附加题)已知函数f(x)=x2-2kx+k+1.
(Ⅰ)若函数在区间[1,2]上有最小值-5,求k的值.
(Ⅱ)若同时满足下列条件①函数f(x)在区间D上单调;②存在区间[a,b]⊆D使得f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b];则称f(x)为区间D上的闭函数,试判断函数f(x)=x2-2kx+k+1是否为区间[k,+∞)上的闭函数?若是求出实数k的取值范围,不是说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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