若当x∈[12，2]时，函数f（x）=x2+px+q与函数g(x)=2x+1x2在同一点处取得相同的最小值，则函数f（x）在[12，2]上的最大值是______

题型：填空题难度：一般来源：不详

若当x∈[

1

2

，2]时，函数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在同一点处取得相同的最小值，则函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是______．

答案

∵x∈[

1

2

，2]，g（x）=x+x+

1

x2

≥3（当且仅当x=1时取“=”），
∵数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在同一点处取得相同的最小值，
∴f（x）=x²+px+q在x=1处取到最小值3，而x∈[

1

2

，2]，
∴-

p

2

=1，p=-2．
∴f（1）=1²-2×1+q=3，
∴q=4．
∴f（x）=x²-2x+4，
∵f（x）=x²-2x+4在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且2到x=1的距离大于

1

2

到x=1的距离，二次函数开口向上，
∴x∈[

1

2

，2]，f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案为：4．