已知函数f(x)=x2+ax+b,f(x)为偶函数,且y=f(x)过点(2,5).(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-2,1)的最大值和最小值;(3)

已知函数f(x)=x2+ax+b,f(x)为偶函数,且y=f(x)过点(2,5).(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-2,1)的最大值和最小值;(3)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+ax+b,f(x)为偶函数,且y=f(x)过点(2,5).
(1)求f(x)解析式;
(2)求f(x)在[-2,1)的最大值和最小值;
(3)求证:f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
答案
(1)由f(x)=x2+ax+b为偶函数,知f(-x)=f(x).
即:(-x)2+a(-x)+b=x2+ax+b.
∴a=-a,解得a=0.
又y=f(x)过点(2,5),得4+b=5,b=1.
∴f(x)=x2+1.…(4分)
(2)由(1),当x=-2时,f(x)max=5,当x=0时,f(x)min=1.…(8分)
(3)证明:
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
x12+1+x22+1
2
-(
x1+x2
2
)2-1

=
x12+x22
2
-
(x1+x2)2
4
=
(x1-x2)2
4
≥0

f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
.…(12分)
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(Ⅰ)若a>0且bc≠0,f(0)=-1,|f(-1)|=|f(1)|=1,试求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
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二次函数y=3x2+(a-1)x+6在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是(  )
A.a>1B.a≥6C.a≤-5D.a<-5
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值为g(a),最小值为h(a).(a∈R)
(1)求g(a)和h(a);
(2)作出g(a)和h(a)的图象,并分别指出g(a)的最小值和h(a)的最大值各为多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(附加题)试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.魔方格
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x2-x-6的单调递增区间为(  )
A.(-∞,-
1
2
]
B.(-∞,
1
2
]
C.[-
1
2
,+∞)
D.[
1
2
,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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