已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(Ⅰ)若a>0且bc≠0,f(0)=-1,|f(-1)|=|f(1)|=1,试求f(x)的解析式;(Ⅱ)若对x1、x2∈

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(Ⅰ)若a>0且bc≠0,f(0)=-1,|f(-1)|=|f(1)|=1,试求f(x)的解析式;(Ⅱ)若对x1、x2∈

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(Ⅰ)若a>0且bc≠0,f(0)=-1,|f(-1)|=|f(1)|=1,试求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
答案
(Ⅰ)令x=0,则|f(0)|=|c|=1,令x=-1,则f(-1)=a-b+c=1,令x=1,则|f(1)|=|a+b+c|=1,下面分类讨论,①若f(0)=f(-1)=1,由于二次函数只能有两根相同,则f(1)=-1 所以c=1,a-b+c=1,a+b+c=-1 解得a=-1,b=-1,c=1,不符合a>0的条件,舍去 ②若f(1)=1,则f(0)=-1 c=-1,a+b+c=1,a-b+c=1,解得a=2,b=0,c=-1,不符合bc≠0的条件,舍去 ③若f(1)=-1,f(0)=-1,则 c=-1,a+b+c=-1,a-b+c=1 解得a=1,b=-1,c=-1,满足综上所述:f(x)=x2-x-1.
(Ⅱ)证明:当x2<-
b
2a
x1>-
b
2a
时:可知f(x)在(x1,x2)内是单调的.
设f(x1)<f(x2),
则必有f(x1)<
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(x2),
因此必然存在实数m∈(x1,x2)满足f(m)=
1
2
[f(x1)+f(x2)].
同理当f(x1)>f(x2)时也成立.当x1<-
b
2a
且x2>-
b
2a
时:若-
b
2a
<-x1<x2+
b
2a

可设x1′=-
b
a
-x1
则有f(x1′)=f(x1),
且f(x)在(x1′,x2)是单调的,以后证法同上.
同理当-
b
2a
>-x1>x2+
b
2a
时也成立.
综上所述:方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不等实根,必有一实根属于(x1,x2).
举一反三
二次函数y=3x2+(a-1)x+6在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是(  )
A.a>1B.a≥6C.a≤-5D.a<-5
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已知函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值为g(a),最小值为h(a).(a∈R)
(1)求g(a)和h(a);
(2)作出g(a)和h(a)的图象,并分别指出g(a)的最小值和h(a)的最大值各为多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(附加题)试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.魔方格
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=x2-x-6的单调递增区间为(  )
A.(-∞,-
1
2
]
B.(-∞,
1
2
]
C.[-
1
2
,+∞)
D.[
1
2
,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是(  )
A.[160,+∞)B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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