设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若a，b
题型：解答题难度：一般来源：不详
设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值． |
答案
证明：（1）f（0）=c＞0①，
f（1）=3a-2b+c＞0②，a-b+c=0③，
由①③得：a-b＜0⇒a＜b④，由②③得：2a-b＞0⇒2a＞b⑤，
由④⑤得：2a＞b＞a⑥，∵b=a+c代入②得：a＞c∴a＞0
∴由⑤得：1＜＜2…（4分）
∵对称轴x=∈(，)，
又f（0）＞0，f（1）＞0
且△=4b2-12ac=4（a+c）2-12ac=（2a-c）2+3c2＞0
∴方程f（x）=0在（0，1）内有两个不等实根．…（10分）
（2）若a，b，c都为正整数，f（0）、f（1）都是正整数，
设f（x）=3a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是f（x）=0的两根，
则x1，x2∈（0，1），且x1≠x2
∵1≤f(0)f(1)=9a2x1(1-x1)x2(1-x2)＜
∴9a2＞16，a为正整数，
∴a≥2，
∴a+b+c≥2+（2+c）+c=4+2c≥6…（15分）
若取a=2，则=∈(1，2)得：b∈（2，4）
∵b为正整数，∴b=3，c=b-a=1f（x）=6x2-6x+1=0的两根都在区间（0，1）内，
∴a+b+c的最小值为6．…（18分） |
举一反三
| 函数y=x2（-3≤x≤1）的最大值、最小值分别是（ ） |
已知f（x）=ax2+bx+c，且当|x|≤1时，|f（x）|≤1，求证：
（1）|c|≤1；
（2）|b|≤1． |
| 已知二次函数f（x）=-x2+2（m-1）x+2m-m2的图象关于y轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数f（x）的单调递增区间． |
已知函数f（x）=x2-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x1、x2（x1≠x2）处取得极值，求证：f（x1）+f（x2）＜2． |
已知函数f（x）=x2+2xsinθ-1，x∈[-，]
（1）当θ=时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-，]上是单调增函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围． |
最新试题
热门考点