已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。(1)求b的值;(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定
题型:解答题难度:一般来源:湖南省高考真题
已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。 (1)求b的值; (2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。 |
答案
解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c 因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称, 所以=2,于是b=-6。 (2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+cx f′(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12 (i)当c≥12时,f′(x)≥0,此时f(x)无极值 (ii)当c<12时,f′(x)=0有两个互异实根x1,x2 不妨设x1<x2,则x1<2<x2 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x1)内为增函数; 当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)在区间(x1,x2)内为减函数; 当x>x2时,f′(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)内为增函数 所以f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值 因此,当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值, 所以t=x2>2 于是g(t)的定义域为(2,+∞) 由f′(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t 于是g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2,+∞) 当t>2时,g′(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0 所以函数g(t)在区间(2,+∞)内是减函数, 故g(t)的值域为(-∞,8)。 |
举一反三
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