解:(1)当a=0时,f(x)=2x在[1,+∞)上是单调增函数,符合题意; 当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为 , 由于y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数, 所以 ,解得a≤-2或a>0,所以a>0; 当a<0时,不符合题意; 综上,a的取值范围是a≥0. (2)把方程 整理为 , 即为方程 , 设 , 原方程在区间 内有且只有两个不相等的实数根,即为函数H(x)在区间 内有且只有两个零点,
, 令H′(x)=0,因为a>0,解得x=1或 (舍), 当x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数; 当x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数. H(x)在 内有且只有两个不相等的零点, 只需 。 |