设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0

设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0

题型:解答题难度:困难来源:模拟题
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f′(-1)=-2,f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由。
答案
解:(1)由已知得t=0,f′(x)=2mx+n,
则f′(0)=n=0,f′(-1)=-2m+n=-2,
从而n=0,m=1,
∴f(x)=x2
由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),得a+b-3=1,3a+b=2,
解得a=-1,b=5,

(2)
求导数得
∴F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
从而F(x)的极小值为F(1)=0.
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x-1,
下面验证都成立即可.
,知f(x)≥2x-1恒成立;
设h(x)=-x3+5x-3-(2x-1),即h(x)=-x3+3x-2(x>0),
求导数得h′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)= -x3+5x-3-(2x-1)的最大值为h(1)=0,
所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立,
故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=-1。
举一反三
若函数f(x)=ax+b的零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是[     ]
A.0,2
B.0,
C.0,-
D.2,
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最大值为 [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是[     ]
A.(-∞,0]
B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
题型:单选题难度:简单| 查看答案

已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m,
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。

题型:解答题难度:困难| 查看答案
若函数f(x)=x3-ax+1在x=1处的切线方程为y=2x-1,则函数g(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的单调递减区间是[     ]
A.(-∞,0]
B.(-∞,0]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[0,1]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.