设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0
题型:解答题难度:困难来源:模拟题
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f′(-1)=-2,f(1)=g(1),f′(1)=g′(1), (1)求函数f(x),g(x)的解析式; (2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值; (3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由。 |
答案
解:(1)由已知得t=0,f′(x)=2mx+n, 则f′(0)=n=0,f′(-1)=-2m+n=-2, 从而n=0,m=1, ∴f(x)=x2,, 由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),得a+b-3=1,3a+b=2, 解得a=-1,b=5, ∴。 (2), 求导数得, ∴F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 从而F(x)的极小值为F(1)=0. (3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x-1, 下面验证都成立即可. 由得,知f(x)≥2x-1恒成立; 设h(x)=-x3+5x-3-(2x-1),即h(x)=-x3+3x-2(x>0), 求导数得h′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)(x>0), ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)= -x3+5x-3-(2x-1)的最大值为h(1)=0, 所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立, 故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=-1。 |
举一反三
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