函数与函数 的图象的所有交点的横坐标之和=        

函数与函数 的图象的所有交点的横坐标之和=        

题型:填空题难度:简单来源:不详
函数与函数 的图象的所有交点的横坐标之和=        
答案
8
解析

试题分析:令z=1-x,即x=1-z;则=,y=2sinπx=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]
=2sinπz.因-2≤x≤4,故-4≤-x≤2,-3≤1-x≤3,即-3≤z≤3.所以y=与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数,令f(z)=-2sinπz,则若有z0使得f(z)=0,则必有-z0也使f(z)=0成立.此时x的值分别为1-x0,1+x0,它们的和为2;
另外由于y=有意义,故z≠0,这样排除了交点为奇数个的情形.
现在问题转化为求f(z)= -2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的情况.不妨只看z>0一边,简单的画一下y=与y=2sinπz的图像,显然当z=时,=2,2sinπz=2这是一个交点,即(1,0)并且此时y=的切线斜率小于0,而y=2sinπz的切线斜率等于0,这样两者在 ( ,1)上还有一个交点;显然在(2,),(,3)上还各有一个交点.共有四对交点,结果是8.
举一反三
已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示,给出下列四个命题:
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根        ②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根
其中正确的命题是                  

题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数的图象的交点为,且,则=      .
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数,记,若函数至少存在一个零点,则实数的取值范围是     
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数的零点的个数是  (   )
A.0个B.1个C.2个D.3个

题型:单选题难度:一般| 查看答案
关于的方程只有一个实数解,则实数的取值范围是_______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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