试题分析:由题意直线 表示斜率为 且过定点(1,1)的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成: 时,是斜率为2且过点(1,0)的射线; 时,是斜率为-2且过点(1,0)的射线.作图可知:当 ,直线 仅与曲线①右支射线有一个交点;当 时,直线 与曲线①无交点;当 时,直线 仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线 与曲线①最多只有一个交点,不符题意,故曲线①不是直线 的“绝对曲线”.(2)因为定点(1,1)在曲线②上,所以直线 与曲线②恒有交点,设曲线②与直线 的两交点为 、 ,易知 ,联立直线 与曲线②方程,化简得: .![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819132117-96946.png) , . ,从而可知当且仅当 时直线 与曲线②仅一个交点.两边平方,化简得: .设 ,则 , ,且 是连续函数,所以 在(0,2)上有零点,即方程 在(0,2)上有根,且在(0,2)上曲线②与直线 有两个不同的交点.故存在实数 使得曲线②与直线 两个不同交点为端点的线段长度恰好等于 ,故曲线②是直线 的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在(1,1)且半径为1的圆,它与直线 两个交点为端点的线段长度恒为2, 为2或-2时满足题意,故曲线③是直线 的“绝对曲线”.(4)因为定点(1,1)在曲线④上,所以直线 与曲线④恒有交点,设曲线④与直线 的两交点为 、 ,易知 ,联立直线 与曲线④方程,化简得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819132119-69806.png) ,
,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819132120-24631.png) ,从而可知当且仅当 时直线 与曲线④仅一个交点.两边平方,化简得: . , , ,且 是连续函数,所以 在 上有零点,即方程 在 上有根,且在 上曲线④与直线 有两个不同的交点.故存在实数 使得曲线④与直线 两个交点为端点的线段长度恰好等于 ,故曲线④是直线 的“绝对曲线”. |