已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]①若f（x）无零点，则g（x）＞0对∀x∈R成立；②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有
题型：填空题难度：一般来源：不详
已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对∀x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解．
其中真命题的个数是______个． |
答案
已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
对于①，若取a=-1，b=0，c=-1，则f（x）=-x2-1，无零点，但g（x）=-（-x2-1）2-1＜0对∀x∈R成立，故①错；
②若f（x）=x2，有且只有一个零点，则g（x）=（x2）2=x4没有两个零点，故②错；
③若取a=1，b=1，c=，方程f（x）=0有两个不等实根-，-，而方程g（x）=[f（x）]2+[f（x）]+⇔f（x）=-或f（x）=-，无解，故③错．
∴其中真命题的个数是0．
故答案为 0 |
举一反三
已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）| A．没有实数根 | B．有且仅有一个实数根 | | C．恰有两个实数根 | D．有无数个不同的实数根 |
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| 若关于x的方程4x+（a+3）⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，求实数a的取值范围． |
设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f"（x）满足0＜f"（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-，)；
③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2x．
其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号） |
k∈R，则方程组 | | y=kx-2k+1 | | 9x2+4y2-18x-16y-11=0 |
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（ ）| A．有且仅有一组实数解 | | B．有且仅有两组不同的实数解 | | C．有两组解，但不一定都是实数解 | | D．由于k为参数，以上情况均有可能出现 |
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| 设函数y=f（x）对一切实数x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6个不同的实根，则这6个根之和为______． |
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