已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件:①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];②对任意的x,y∈[a,b],都有|f(
题型:单选题难度:简单来源:广东模拟
已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件: ①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b]; ②对任意的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|. 那么,关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是( )A.没有实数根 | B.有且仅有一个实数根 | C.恰有两个实数根 | D.有无数个不同的实数根 |
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答案
设g(x)=f(x)-x. g(a)=f(a)-a≥0, g(b)=f(b)-b≤0, 所以g(x)=0在[a,b]有实数根, 若有两个不同的实数根x,y, 则f(x)=x,f(y)=y,得f(x)-f(y)=x-y, 这与已知条件|f(x)-f(y)|<|x-y|相矛盾. 故选B. |
举一反三
若关于x的方程4x+(a+3)⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,求实数a的取值范围. |
设M是由满足下列两个条件的函数f(x)构成的集合: (1)方程f(x)-1=0有实数解; (2)函数f(x)的导数f"(x)满足0<f"(x)<2,给出如下函数: ①f(x)=x+sinx; ②f(x)=x+tanx,x∈(-,); ③f(x)=x+log3x,x∈[1,+∞); ④f(x)=x+2x. 其中是集合M中的元素的有______.(只需填写函数的序号) |
k∈R,则方程组 | y=kx-2k+1 | 9x2+4y2-18x-16y-11=0 |
| | ( )A.有且仅有一组实数解 | B.有且仅有两组不同的实数解 | C.有两组解,但不一定都是实数解 | D.由于k为参数,以上情况均有可能出现 |
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设函数y=f(x)对一切实数x都有f(3+x)=f(3-x)且方程恰有6个不同的实根,则这6个根之和为______. |
设函数f(x)=(x-2011)(x-2012)+,则f(x)=0( )A.在定义域内无解 | B.存在两个解,且分别在(-∞,2011)、(2012,+∞)内 | C.存在两个解,且分别在(-∞,-2010)、(2010,+∞)内 | D.存在两个解,都在(2011,2012)内 |
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