定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；②f（0）=-1；③当x∈（-1，0）时，都有f′（x）＜0．若方程
题型：填空题难度：简单来源：不详
定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③当x∈（-1，0）时，都有f′（x）＜0．
若方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是______． |
答案
∵函数y=f（x）为偶函数，即f（1）=f（-1），
令x=-1，又由对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
则f（1）=f（-1）+f（1），故f（1）=f（-1）=0，
则f（x+2）=f（x）即函数是一个以2为周期的周期函数，
又∵当x∈（-1，0）时，都有f′（x）＜0．
故只有（2K+1，0）（k∈Z）为函数的零点，
若方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，
则三个实根分别为3，1，-1，
故a∈（-3，-1]，
故答案为：（-3，-1]． |
举一反三
已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）． |
已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f"n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+(ξ2-ξ1)]（ξ1≠ξ2），λ，ξ1，ξ2为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f2n-1（x）与fn（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程=在区间（0，1）上的实数根的个数． |
| 设a，b∈（0，1），则关于x的方程x2+2ax+b=0在（-∞，∞）上有两个不同的零点的概率为______． |
| 若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______． |
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