若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______．
题型：填空题难度：一般来源：不详
| 若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______． |
答案
∵函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，又f（x）=x3-ax=x（x2-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±．
函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，∴≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x2-a，令f′（x）=0，解得 x=±．
当x＜-，或 x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当-＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．
故当x=-时，函数取得极大值为f（-）=≤．
∵＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x3-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x3-ax=1000，可得 x2-a=．
此时有a=x2-，由于x为大于10的整数，由上知 x2-≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-=196-71＞100，故可得a的值有三个，
故答案为 3． |
举一反三
| 关于x的方程x2+mx+n=0（m，n∈R）的一个根是-3+2i，则m=______． |
| 已知函数f(x)=，则函数g(x)=f(x)-x的零点的个数是（ ） |
| 关于θ的方程2cosθ=sinθ在区间[0，2π]上的解的个数为（ ） |
已知函数f（x）=x3+ax2-1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ） 设对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在实数a，使得满足f′（t）=4t2-2alnt的实数t有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a；若不存在，请说明理由． |
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