已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,n∈N*,其导函数记为f"n(x),且满足:f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)
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已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,n∈N*,其导函数记为f"n(x),且满足:f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在实数集上的函数f
n
(x)=x
n
,n∈N
*
,其导函数记为f"
n
(x),且满足:
f
2
(
ξ
2
)=
f
2
(
ξ
1
)+(
ξ
2
-
ξ
1
)f
′
2
[
ξ
1
+
1
λ
(
ξ
2
-
ξ
1
)]
(ξ
1
≠ξ
2
),λ,ξ
1
,ξ
2
为常数.
(Ⅰ)试求λ的值;
(Ⅱ)设函数f
2n-1
(x)与f
n
(1-x)的乘积为函数F(x),求F(x)的极大值与极小值;
(Ⅲ)试讨论关于x的方程
f′
n
(1+x)
f′
n+1
(1+x)
=
λ
n
-1
λ
n+1
-1
在区间(0,1)上的实数根的个数.
答案
(Ⅰ)f
2
(x)=x
2
,则f
2
′(x)=2x,
∴
ξ
2
2
=
ξ
1
2
+2(
ξ
2
-
ξ
1
)[
ξ
1
+
1
λ
(
ξ
2
-
ξ
1
)]
,又ξ
1
≠ξ
2
,
∴
ξ
2
+
ξ
1
=2
ξ
1
+
2
λ
(
ξ
2
-
ξ
1
)⇒λ=2
.…(4分)
(Ⅱ)令y=F(x)=f
2n-1
(x)•f
n
(1-x)=(1-x)
n
•x
2n-1
,
则y"=-n(1-x)
n-1
•x
2n-1
+(2n-1)x
2n-2
•(1-x)
n
=x
2n-2
•(1-x)
n-1
[(2n-1)-(3n-1)x],…(3分)
令y"=0,得
x
1
=0,x
2
=
2n-1
3n-1
,
x
3
=1
,且x
1
<x
2
<x
3
,
当n为正偶数时,随x的变化,y"与y的变化如下:
x
(-∞,0)
0
(0,
2n-1
3n-1
)
2n-1
3n-1
(
2n-1
3n-1
,1)
1
(1,+∞)
y"
+
0
+
0
-
0
+
y
极大值
极小值
解析
x
(-∞,0)
0
(0,
2n-1
3n-1
)
2n-1
3n-1
(
2n-1
3n-1
,1)
1
(1,+∞)
y"
+
0
+
0
-
0
+
y
极大值
举一反三
设a,b∈(0,1),则关于x的方程x
2
+2ax+b=0在(-∞,∞)上有两个不同的零点的概率为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=x
2
-2x+3的零点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若函数f(x)=x
3
-ax(a>0)的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程f(x)=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=x-2
-π
的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
关于x的方程x
2
+mx+n=0(m,n∈R)的一个根是-3+2i,则m=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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