(I)当a=b=1时,f(x)=x2+x,g(x)=x+ 由f(x)≥g(x)可得,x≥1或x<0;由f(x)<g(x)可得0<x≤1 ∵f[g(x)]=f(x+)=(x+)2+(x+) g[f(x)]=g(x2+x)=x2+x+ ∴H(X)= | (x+)2+(x+),x≥1或x<0 | x2+x+,0<x≤1 |
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(II)当a=1时,x∈[2,+∞),H(x)=f[g(x)]可得当x≥2时,f(x)≥g(x)恒成立 即x2+bx≥x+在[2,+∞)恒成立 ∴b≥-x+1+在x∈[2,+∞)恒成立 令h(x)=-x+1+,则容易得函数h(x)在[2,+∞)单调递减,则h(x)max=h(2)=- ∴b≥- (III)假设b≥0,c≥0,a>0 由于g(x)=x+在(0,]单调递减,在[, +∞)单调递增 ∴g(x)≥g()=2>0 ∵c+f(g(x))=(x+)2+b(x+)+c在[2,+∞)单调递增 ∴c+f[g(x)]≥f(2)+c=4a+b+c>0在(0,+∞)恒成立与f[g(x)]+c=0有根矛盾 故假设错误即b,c至少有一个为非负数 |